평면벡터를 이용한 직선의 방정식

■ 평면벡터를 이용한 직선의 방정식

 

1. 방향벡터를 이용한 직선의 방정식

(1) 벡터방정식

점 A을 지나고 영벡터가 아닌 벡터 에 평행한 직선 위의 점을 P라 하고, 두 점 A, P의 위치벡터를 각각 라 하면

직선의 방정식은

(단, t는 실수)

이때 벡터 를 직선 의 방향벡터라 한다.

(2) 성분을 이용한 직선의 방정식

점 을 지나고 방향벡터가 인 직선의 방정식은

(단, )

 

▷ 설명

점 을 지나고 영벡터가 아닌 벡터 에 평행한 직선 위의 임의의 점을 라 하고, 두 점 A, P의 위치벡터를 각각 라 하면

(1) 이므로

를 만족하는 실수 t가 존재한다.

따라서  (단, t는 실수) …… ①

역으로 방정식 ①을 만족시키는 벡터 를 위치벡터로 하는 점 P는 직선 위에 있다.

따라서 방정식 ①은 벡터로 나타낸 직선 의 방정식이다.

 

(2) 이므로

, 이므로

일 때 이 식에서 t를 없애면

직선 의 방정식은

➀ 점 을 지나고, 방향벡터가 일 때

는 x축에 평행하므로 직선의 방정식은 

공식을 이용하면 직선의 방정식은

⇒ 분모가 0이면 분자도 0으로 봄

에서 

➁ 점 을 지나고, 방향벡터가 일 때

는 y축에 평행하므로 직선의 방정식은 

공식을 이용하면 직선의 방정식은

⇒ 분모가 0이면 분자도 0으로 봄

에서 

 

2. 두 점을 지나는 직선의 방정식

두 점 를 지나는 직선의 방정식은

(단, )

 

※ 두 점 를 지나는 직선의 방향벡터는

이다.

 

3. 법선벡터를 이용한 직선의 방정식

점 A을 지나고 영벡터가 아닌 벡터 에 수직인 직선 위의 점을 P라 하고, 두 점 A, P의 위치벡터를 각각 라 하면

(1) 벡터방정식

직선의 방정식은

이때 을 직선 의 법선벡터라 한다.

(2) 성분을 이용한 직선의 방정식

점 을 지나고 법선벡터가 인 직선의 방정식은

 

▷ 설명

점 을 지나고 영벡터가 아닌 벡터 에 평행한 직선 위의 임의의 점을 라 하고, 두 점 A, P의 위치벡터를 각각 라 하면

(1) 이므로

   …… ①

역으로 방정식 ①을 만족시키는 벡터 를 위치벡터로 하는 점 P는 직선 위에 있다.

따라서 방정식 ①은 벡터로 나타낸 직선 의 방정식이다.

(2) 이므로

직선 의 방정식은

 

직선의 방정식