평면에서 벡터를 이용하여 원의 방정식

■ 평면에서 벡터를 이용하여 원의 방정식

 

평면벡터를 이용한 원의 방정식

(1) 벡터방정식

점 A를 중심으로 하고 반지름의 길이가 r인 원 위의 한 점을 P라고 하고, 두 점 A, P의 위치벡터를 각각 라고 하면

 

(2) 성분으로 표현되는 벡터방정식

점 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 r인 원 위의 한 점을 P(x, y)라고 하고, 두 점 A, P의 위치벡터를 각각 라고 하면

 

▷ 설명

점 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 r인 원 위의 한 점을 P(x, y)라고 하고, 두 점 A, P의 위치벡터를 각각 라고 하면

(1) 

이므로

         …… ①

역으로 방정식 ①을 만족시키는 벡터 를 위치벡터로 하는 점 P는 를 만족시킨다.

따라서 방정식 ①은 점 A를 중심으로 하고 반지름의 길이가 r인 원의 방정식이다.

 

(2) 이므로

양변에 제곱하면

역으로도 벡터 를 위치벡터로 하는 점 P는 중심이 점 A, 반지름의 길이가 r인 원 위에 있다.

 

2. 두 점의 지름의 양 끝점으로 하는 원의 방정식(아폴로니우스 원)

두 점 를 지름의 양 끝점으로 하는 원 위의 한 점을 P(x, y)라 하고 세 점 A, B, P의 위치벡터를 각각 라 하면

(원의 벡터방정식)

 

▷ 설명

두 점 를 지름의 양 끝점으로 하는 원 위의 한 점을 P(x, y)라 하고 세 점 A, B, P의 위치벡터를 각각 라 하면

삼각형 PAB는 인 직각삼각형

역으로 위 식을 만족시키는 벡터 를 위치벡터로 하는 점 P는 두 점 A, B를 지름의 양 끝점으로 하는 원 위에 있다.

 

원의 방정식의 정의 아폴로니우스 원(Apollonios)