y=sec x 와 y=csc x의 적분

y=sec x 와 y=csc x의 적분법

1. 부분분수를 이용한 방법

(1) $y= secx$ 의 적분법

$$y=\sec x = \frac{1}{\cos x}$$

먼저 $\cos x$를 분모 와 분자에 곱하면

 

$$\sec x=\frac{1}{\cos x}=\frac{\cos x}{\cos ^2x}=\frac{\cos x}{1-\sin ^2x}$$

 

$\sin x=t$로 치환하면​

$\cos x\ dx=dt$​

$$\int _{\ }^{\ }\sec x\ dx=\int _{\ }^{\ }\frac{\cos x}{1-\sin ^2x}dx=\int_{\ }^{\ }\frac{1}{1-t^2}dt$$

​

$$=\frac{1}{2}\int _{\ }^{\ } \left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)dt$$

​

$$=\frac{1}{2} \left( \ln |1+t|- \ln |1-t|\right)+C$$

​

$$=\frac{1}{2}\ln \left| \frac{1+t}{1-t} \right|+C$$

​

위 식에 $t=\sin x$를 대입하면

​

$$\int _{\ }^{\ }\sec x\ dx=\frac{1}{2}\ln \left| \frac{1+\sin x}{1-\sin x} \right|+C$$ ​

(2) $y= cscx$의 적분법 

$$y=\csc x = \frac{1}{\sin x}$$

먼저 $\sin x$를 분모 와 분자에 곱하면

​ $$\csc x=\frac{1}{\sin x}=\frac{\sin x}{\sin ^2x}=\frac{\sin x}{1-\cos ^2x}$$ ​

$\cos x=s$로 치환하면​

$-\sin x  dx=ds$이므로 치환적분 가능하다

​

$$\int _{\ }^{\ }\csc x\ dx=\int _{\ }^{\ }\frac{\sin x}{1-\cos ^2x}dx=-\int _{\ }^{\ }\frac{1}{1-s^2}ds$$

 

$$=-\frac{1}{2}\int _{\ }^{\ }\left(\frac{1}{1+s}+\frac{1}{1-s}\right)ds$$

$$=-\frac{1}{2}\left( \ln \left|1+s \right|-\ln \left|{1-s}\right|\right)+C$$ ​

$$=\frac{1}{2}\ln \left|\frac{1-s}{1+s}\right|+C$$

​

위 식에 $s=\cos x$를 대입하면​

 

$$\int _{\ }^{\ }\csc x\ dx=\frac{1}{2}\ln \left| \frac{1-\cos x}{1+\cos x} \right|+C$$

 

 

2.분모, 분자에 공통된 수를 곱하는 방법

(1) $y= secx$ 의 적분법

 

secx에 secx+tanx를 분모, 분자에 곱해준다.​

적분식은​

$$\int _{\ }^{\ }\sec x\ dx=\int _{\ }^{\ }\frac{\sec x\left(\sec x+\tan x\right)}{\sec x+\tan x}dx$$

​

$$=\int _{\ }^{\ }\frac{\sec x\tan x+\sec ^2x}{\sec x+\tan x}dx$$ ​

​

secx+tanx=u라고 하면

​

$\left(\sec x\tan x+\sec ^2x\right)dx = du$이므로

​

치환적분이 가능하다.

식을 u에 대해 나타내면

​

$$\int _{\ }^{\ }\frac{\sec x\tan x+\sec ^2x}{\sec x+\tan x}dx=\int _{\ }^{\ }\frac{1}{u}du=\ln \left| u \right|+C$$

 

​u=-secx+tanx 를 대입하면

​

$$\int _{\ }^{\ }\sec x\ dx=\ln \left| \sec x+\tan x \right|+C$$ ​

분수함수 적분으로 치환하여 적분하면 됩니다.

 

(2) $y= cscx$의 적분법 

① cscx도 secx와 같은 방법으로 적분하면 됩니다.

$\csc x$에 $\csc x+\cot x$를 분모,분자에 곱하면

적분은

$$\int _{\ }^{\ }\csc x\ dx=\int _{\ }^{\ }\frac{\csc x\left(\csc x+\cot x\right)}{\csc x+\cot x}dx$$

​

$$=\int _{\ }^{\ }\frac{\csc x\cot x+\csc ^2x}{\csc x+\cot x}dx$$

​

$\csc x+\cot x=t$로 치환하면​

$-\left(\csc x\cot x+\csc ^2x\right)dx =dt$이므로​

치환적분이 가능하다.

이를 t에 대해 나타내면​

$$\int _{\ }^{\ }\frac{\csc x\cot x+\csc ^2x}{\csc x+\cot x}dx=-\int _{\ }^{\ } \frac{1}{t}dt=-\ln \left| t \right|+C$$

​

$t=\csc x+\cot x$로 대입하면​

 

$$\int _{\ }^{\ }\csc x\ dx=-\ln \left|\csc x+\cot x \right|+C$$ ​

② 삼각함수의 성질을 이용하여 $cscx=\sec(\frac{\pi}{2} -x)$임을 이용하여 적분할 수 있다.

$\sin x=\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$이므로

$\csc x=\sec \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$이다.

​

따라서 적분 역시​

$$\int _{\ }^{\ }\csc x\ dx=\int _{\ }^{\ }\sec \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\ dx$$

​

$\frac{\pi }{2}-x=t$로 치환하면​

$-dx=dt$이므로

​

$$\int _{\ }^{\ }\sec \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\ dx=-\int _{\ }^{\ }\sec t\ dt$$

​

$$=-\ln \left|\sec t+\tan t \right|+C$$

​

$t=\frac{\pi }{2}-x$를 대입하면

 

$$\int _{\ }^{\ }\csc x\ dx=-\ln \left| \sec \left(\frac{\pi }{2}-x\right)+\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right) \right|+C$$

​

$$=-\ln \left|\csc x+\cot x \right|+C$$ ​

위와 같이 적분이 됩니다.

​