정적분을 이용한 로그함수 y=lnx의 정의

■ 정적분을 이용한 로그함수 $y=\ln x$의 정의

 

로그함수 $y=\ln x$는 밑이 $e$인 로그함수 또는 지수함수 $y=e^x$의 역함수로 정의로 로그함수를 정의 하고 있으나 적분과 미분의 관계를 학습 후에 적분을 이용하여 정의할 수 있다.

로그함수  $y=\ln x$는 정적분을 이용하여 $x>0$일 때,

$$\ln x=\int_{1}^{x} \frac{1}{t} dt$$

로 정의하기도 하는데 이를 증명해 보자.

 

▶ 증명

함수 $f(t)=\frac{1}{t}$은 구간 $(0, \infty)$에서 연속이므로 $x>0$일 때,

$$\int_{1}^{x} \frac{1}{t} dt$$

가 존재한다.

$$g(x)=\int_{1}^{x} \frac{1}{t}dt (x>0)$$

로 정의하면

$$g(1)=\int_{1}^{1} \frac{1}{t}dt =0$$

이다.

또한 적분과 미분의 관계에 의하여

$${g} ' (x) =\frac{d}{dx} \int_{1}^{x} \frac{1}{t} dt =\frac{1}{x}$$

이 성립한다.

이 도함수는 $\ln x$의 도함수와 같으므로

$$\left\{ g(x)-\ln x \right\} '=\frac{1}{x} - \frac{1}{x}=0$$

이다.

 따라서 $g(x)-\ln x = C$를 만족시키는 상수 $C$가 존재한다.

그런데 $g(1)-\ln 1 = 0-0=0$에서 $C=0$이므로

$$g(x)=\ln x$$

이다.