역함수의 미분법

■ 역함수의 미분법

미분가능한 함수 의 역함수 가 존재하고 미분가능할 때, 함수 의 도함수는

1. 또는 (단, )

2. , 즉 이면 (단, )

 

▷ 역함수의 미분법의 증명

미분가능한 함수 의 역함수 가 존재하고 미분가능할 때,

의 도함수를 구해 보자.

역함수의 정의에 의하여 이므로 양변을 x에 대하여 미분하면

합성함수의 미분법에 의해

,

따라서 (단, )

한편, 에서 이므로

따라서 (단, )

즉, 와 는 서로 역수 관계임을 알 수 있다.

따라서 를 구하는 것 보다는 를 구하는 것이 편리한 경우에는 역함수의 미분법을 이용하는 것이 편리하다.

 

또한, , 즉 이면 다음이 성립한다.

(단, )

 

합성함수의 미분법 함수의 몫의 미분