삼각함수의 극한의 기본 공식

■ 삼각함수의 극한의 기본 공식

1. 함수 , 의 극한

(1) 

(2) 

(3) 

(4) 

 

2. 삼각함수의 극한의 변형

(1) 

(2) 

(3) 

(4) 

 

▷ , 의 증명

1. 증명

x=0에서의 좌극한과 우극한이 모두 1임을 보인면 된다.

(ⅰ) 일 때,

그림과 같이 중심이 O, 반지름의 길이가 1인 원에서 ∠AOB의 크기를 x라 하고,

점 A에서의 접선과 선분 OB의 연장선의 교점을 T라고 하자.

삼각형 AOB, 부채꼴 AOB, 삼각형 AOT의 넓이 사이에는

(△AOB의 넓이)<(부채꼴 AOB의 넓이)<(△AOT의 넓이)

이고, 이므로

즉, 

이때 이므로 각 변을 로 나누면

각 변에 역수를 취하면

그런데 이므로

 

(ⅱ) 일 때,

로 놓으면 이고

일 때 이므로

 (ⅰ), (ⅱ)에서 의해 

 

2. 증명

이므로

  

  

 3. 의 증명

(1에 의해서 )

4. 의 증명

(2에 의해서 )

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