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원주각과 중심각 사이의 관계

원주각과 중심각 사이의 관계 도형에 관련된 문제를 풀다보면 많이 사용하는 방법중에 원주각과 중심각사이의 관계를 이용하여 문제를 해결하면 편리할 때가 많다. 꼭 기억했다가 문제를 해결하는데 유용하게 사용하길 바랍니다. 원의 호 AB에 대하여 원 위의 한 점 P를 연결할 때 생기는 각 ∠APB를 원주각(圓周角)이라 하고, 원의 중심 O를 연결할 때 생기는 각 ∠AOB를 중심각(中心角)이라 한다. 같은 호 AB에 대하여 원주각 ∠APB의 크기는 중심각 ∠AOB의 크기의 절반이다. ■ 증명 P에서 원의 중심 O를 지나는 연장선과 원과 만나는 점을 C라 하면 ∠OAP=α, ∠OBP=β라 놓자. △OAP가 이등변삼각형이므로 ∠OPA=α △OBP가 이등변삼각형이므로 ∠OPB=β 삼각형의 외각의 크기는 마주 보는 두 ..

2019. 2. 3. 16:33

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심슨의 정리

심슨의 정리 삼각형 ABC의 외접원 위의 한 점 X에서 이 삼각형의 세 변 또는 그 연장선에 내린 수선의 발 P, Q, R은 모두 한 직선 위에 있다. ■ 증명 임을 보이면 된다. 원의 지름에 대한 원주각은 90도라는 사실과 원의 내접하는 사각형의 마주 보는 각의 합은 180도라는 성질을 이용하여 보이면 된다. 이므로 두 점 P, Q는 지름이 BX인 원 위에 있다. 따라서 호 PX에 대하여 ∠XQP = ∠XBP ⋯⋯⋯① 원에 내접하는 사각형 ABXC에서 외각 ∠XBP의 크기는 그와 이웃하는 내각을 마주 보는 각 ∠XCA(즉, ∠XCR)의 크기와 같으므로 ∠XBP = ∠XCR ⋯⋯⋯② 이므로 두 점 Q, R은 지름이 XC인 원 위에 있다. 따라서 사각형 XCRQ는 원에 내접하므로⋯⋯⋯③① , ②, ③의 결..

2019. 2. 3. 10:30

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메넬라우스의 정리

메넬라우스의 정리 한직선 l이 △ABC의 세변 또는 그 연장선과 만나는 점을 D, E, F라 하면 ■ 증명점 C를 지나면서 직선 l 과 평행한 선을 CG라 하자.△DBE와 △GBC는 닮았으므로△ADF와 △AGC는 닮았으므로따라서

2019. 2. 3. 10:30

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페르마 포인트(토리첼리 점)

페르마 포인트(페르마 점) 삼각형의 내부의 한 점에서 세 꼭짓점에 이르는 거리의 합이 최소인 점을 페르마 점(페르마 점은 갈릴레이의 제자인 토리첼리가 해결했기 때문에 페르마 점을 토리첼리 점이라도 부른다.)이라고 한다. △ABC의 내부의 한 점 P를 잡는다. △BPA를 점 B를 중심으로 60도 회전시킨 삼각형을 △BP′A′라 하면, △BPP′는 BP=BP′ , P′BP=60도 이므로 정삼각형이다. 따라서 PB=P′P 이다. 따라서 이다. 우리가 구하고 하는 페르마 점은 F이다. 즉, 페르마 점 F를 기준으로 위의 그림을 다시 그리면 다음과 같다. 그림에서 네 점 A′, P′, F(=P) , C 가 한 직선 위에 있고 △BPP′는 정삼각형이므로 따라서 페르마 점은 △ABC의 내부의 한 점 P를 잡았을 때 ..

2019. 2. 3. 10:30

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다각형의 대각선의 개수 와 다각형의 내각의 합

다각형의 대각선의 개수 와 다각형의 내각의 합 ■ 다각형의 대각선의 개수 n각형의 대각선의 개수는 이다. (단, ) n각형의 한 꼭짓점 A에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 n-3개이다. (예를 들면, 위 육각형에서 A, B, D 3개를 제외) 따라서 n개의 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 n(n-3)개이다. 이 중에서 AC와 CA처럼 같은 것이 2개씩 중복되어 있으므로 n각형의 대각선의 개수는 개다. ■ 다각형의 내각의 합 n각형의 내각의 크기의 합은 이다. (단, ) 위 그림에서 n각형의 한 꼭짓점 A에서 대각선을 그으면 n-2개의 삼각형이 생긴다. (n개의 꼭짓점 중에서 B, D 2개를 제외) 한 삼각형의 내각의 크기의 합은 180도이므로 n-2개의 삼각형의 내각의 크기의 합은 이다.

2019. 2. 2. 20:28

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톨레미의 정리

톨레미의 정리 원에 내접하는 사각형에서 마주 보는 두 쌍의 변의 곱의 합은 두 대각선의 곱과 같다. ∠DAC = ∠BAE 가 되도록 점 E를 대각선 BD 위에 잡으면, 호 AD에 대하여 ∠ABD = ∠ACD이므로 △ABE 와 △ACD는 닮은 삼각형이다. AB : BE = AC : CD 따라서 ⋯⋯① 같은 방법으로, 호 AB에 대하여 ∠ACB = ∠ADB이므로 △ABC 와 △AED는 닮은 삼각형이다. AC : BC = AD : ED 따라서 ⋯⋯② ①+② 하면 특히, 직사각형의 마주보는 내각의 합은 180도이므로 직사각형의 외접원을 그릴 수 있다. 따라서 아래의 그림과 같이 직사각형의 톨레미의 정리를 적용하면 피타고라스의 정리가 얻어진다. 즉 으로부터

2019. 2. 2. 19:19

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체바의 정리

체바의 정리 △ABC의 내부의 한 점 P에서 세 꼭짓점을 연결한 직선이 세 변과 만나는 점을 D, E, F라 하면 ■ 증명높이가 같은 두 삼각형의 넓이의 비는 밑변의 길이의 비와 같다는 성질을 이용한다.△ABC과 △PAB에서 높이가 같으므로위와 같은 방법과 마찬가지로따라서

2019. 2. 2. 16:47

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정다면체 요점정리

정다면체 요점정리 고대 그리스 철학자인 플라톤(Platon, BC 427~347, 그리스)은 세계를 구성하는 5가지 기본 원소를 불(정사면체), 흙(정육면체), 공기(정팔면체), 천체(정십이면체), 물(정이십면체)로 정의 하고 이들을 정다면체와 연관지었다. 그래서 5가지의 정다면체를 플라톤의 입체라고도 부른다.(1) 정사면체 : 가장 뽀족한 모양으로 날카로운 성질을 가진 불을 상징(2) 정육면체 : 가장 안정된 모양을 가진 성질을 가진 흙을 상징(3) 정팔면체 : 팔랑개비처럼 바람을 불면 쉽게 돌아가는 바람을 불러 일으키는 공기를 상징(4) 정십이면체 : 12개의 별자리로 이루어진 천체를 상징(5) 정이십면체 : 둥글둥글한 가장 쉽게 굴러갈 수 있으므로 활동적인 물을 상징 ■ 정다면체의 전개식(전개식은 ..

2019. 2. 2. 13:32

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정다면체 증명

정다면체(正多面體, regular polyhedron) 모든 면이 서로 합동인 정다각형이고, 각 꼭짓점에 모인 면의 개수가 같은 볼록한 다면체를 정다면체(正多面體)라 한다. 정다면체는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체의 5가지만 있다. ■ 증명정다면체의 면(face), 모서리(edge), 꼭짓점(vertex)의 개수를 각각 f, e, v 라 하면, 오일러의 다면체 정리에 의해이다. 정다면체의 각 꼭지점에 정n각형이 a개 모인다고 하자.예를 들면, 다음 그림과 같이 정육면체는 각 꼭지점에 정사각형이 3개 모인다. ( ) 1) 정다면체의 면의 개수 f를 구하자. 한 모서리에 면이 2개씩 생기므로 e개의 모서리에는 2e개의 면이 생긴다. 그 중에 n개씩 중복되므로 정다면체의 꼭짓점의 개수..

2019. 2. 2. 11:20

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오일러의 다면체 정리

오일러의 다면체 정리 다각형으로 둘러싸인 입체도형을 다면체(多面體)라 한다. 이때 다면체를 둘러싸고 있는 다각형을 면이라 부르고, 다각형의 변을 모서리라 부르고 모서리가 만나는 점을 꼭지점이라 한다. 영어의 앞 글자를 따서 꼭지점의 개수를 v, 면의 개수를 f , 모서리의 개수를 e 라 하자.f-e+v=2f개의 면에 차례로 번호를 붙여보자. 예를 들면 면ABCD =a1, 면BFGC =a2, 면CGHD =a3, …그러면 다면체의 면은 a1, a2, a3, a4, … , af 이다.면 a1의 꼭지점과 변의 개수를 각각 v1, e1 이라 하자.면 a2의 꼭지점과 변 중에서 면 a1과 공통인 것을 제외한 개수를 각각 v2, e2 라 하자.면 a3의 꼭지점과 변 중에서 면 a1, a2 와 공통인 것을 제외한 개수..

2019. 2. 1. 23:39

Joy Of Math/수학이야기

수학과 2009개정교육과정과 2015개정교육과정 비교

수학과 2009개정교육과정과 2015개정교육과정 비교 2019 개정 교육과정과 2015 개정 교육과정에 따른 수학과 교육과정의 주요 변화를 다음과 같습니다. 구분 2009 개정 교육과정 2015 개정교육과정 비고 문자와식 [수학I] 이차함수의 최대와 최소 [수학] 중 3 내용과 통합 내용 연계 강화 [수학I] 미지수가 3개인 연립일차방정식 삭제 학습량 경감 [수학] 미지수가 1개인 연립일차부등식 중 2에서 이동 기하 [수학I] 부등식의 영역 [경제 수학]으로 이동 학습량 경감 [기하와 벡터] 공간벡터 [고급 수학I]으로 이동 수월성 교육 확률과통계 [확률과 통계] 순열과 조합 [수학] 경우의 수, 순열, 조합 중학교 내용과 연계 [확률과 통계] 분할, 표본비율과 모비율 [심화 수학II]로 이동 모평균을 ..

2019. 1. 30. 14:44

수학자

수학자

수학자들 ㄱ ㄴ ㄷ ㄹ ㅁ ▷ 가 우 스 ▷ 갈 루 아 ▷ 갈릴레오 ▷ 그라스만 ▷ 기 브 스 ▷ 네 이 만 ▷ 네이피어 ▷ 뇌 더 ▷ 뉴 턴 ▷ 달랑베르 ▷ 데자르그 ▷ 데카르트 ▷ 드 모르간 ▷ 드 무아브르 ▷ 디리클레 ▷ 디오판토스 ▷ 라그랑주 ▷ 라이프니츠 ▷ 라플라스 ▷ 람베르트 ▷ 러 셀 ▷ 레 코 드 ▷ 로바체프스키 ▷ 로피탈 ▷ 르장드르 ▷ 리 만 ▷ 매클로린 ▷ 몽 주 ▷ 뫼비우스 ㅂ ㅅ ㅇ ㅈ ㅋ ▷ 바스카라 ▷ 바이어슈트라스 ▷ 배 로 ▷베르누이 ▷ 보 야 이 ▷ 부 울 ▷ 브라마굽타 ▷ 브 로 워 ▷ 비 에 트 ▷ 슈타이너 ▷ 실베스터 ▷ 아르키메데스 ▷ 아 벨 ▷ 아폴로니우스 ▷ 알콰리즈미 ▷ 야 코 비 ▷ 에라토스테네스 ▷ 에르미트 ▷ 오일러 ▷ 오트레드 ▷ 윌리스 ▷ 유클리드 ..

2019. 1. 29. 00:05

각양각색

나이스 대국민서비스 모바일 사용 안내

나이스 대국민서비스를 모바일(휴대폰)에서도 사용할 수 있습니다. 다음과 같은 절차를 따르시면 나이스 대국민 서비스를 휴대폰에서 볼 수 있다는 장점이 있습니다. 그럼 절차를 알아 보겠습니다. 먼저 필수 선행 절차에 따라 PC에서 완료된 상태에서 모바일 기기를 사용 할 수 있습니다. ■ 필수 선행 절차 1. 나이스 대국민 모바일 서비스 사용을 위해서는 PC에서 학생·학부모 서비스 회원가입 및 인증서 등록이 완료되어야 합니다. 2. 학부모 서비스 이용을 위해 (내)자녀등록 및 담임교사의 승인이 완료되어야 조회 가능합니다. ※ 대국민 서비스(https://neis.go.kr/) - 학생서비스/학부모서비스 (이용안내 참고) ■ 나이스 대국민서비스 모바일 사용 안내▶모바일에서 해야 할 사항 1. 구글 플레이스토어(..

2019. 1. 28. 18:17

각양각색

내 자녀 바로 알기 나이스 학부모서비스

내 자녀 바로 알기 ” 학부모서비스를 통하여 학교에 직접 찾아오시지 않아도 학교정보 뿐만 아니라 자녀의 성적, 일일출결, 학교생활기록부(수상경력, 자격증, 체험학습활동) 등 자녀의 학교생활 전반을 인터넷으로 한 눈에 열람하실 수 있는 서비스를 제공 받으실 수 있습니다.학부모서비스 신청 및 이용 방법 및 절차를 간략하게 제시 해 봅니다. ◆ 학부모서비스 신청 및 이용 방법 및 절차나이스 학부모 서비스 바로가기http://neis.go.kr/ 1. http://www.neis.go.kr 접속 → [학부모서비스]-[각시도교육청] “클릭” 2. 회원가입/로그인 : 준비된 공인인증서 등록 또는 ID, I-PIN으로 로그인 가능(단, 서비스 항목에 제한이 있습니다.) 3. [학부모 서비스 신청] “클릭” : 신청자..

2019. 1. 28. 17:44

수학자

파치올리(Luca Pacioli,약1445-1509)

파치올리(Luca Pacioli,약1445-1509) 1494년에 이탈리아의 수도사 파치올리의 의 제 1판이 출간되었는데 흔히 이 책을 간단히 이라고 부른다. 이 저작은 당시의 산술, 대수, 기하에 관한 요약집을 만들기 위해 많은 원전으로부터 자유롭게 편집된 것이다. 이 에는 피보나치의에 나오는 내용보다 더 중요한 것은 거의 없지만 훌륭한 표기를 이용하고 있다는 데 특징이 있다. 파치올리는 여러 곳을 여행하며 공부를 했으며 많은 저술을 하였지만 모두 인쇄되지는 못하였다. 1509년에 출간된 그의 에는 레오나르도 다빈치(Leonardo da Vinci)가 그린 것으로 생각되는 정다면체의 그림이 실려 있다.

2019. 1. 28. 10:01