수학교과실/기하

이차곡선의 매개변수 표현

■ 이차 곡선의 매개변수 표현 이차곡선 원, 포물선, 타원, 쌍곡선의 매개변수로 나타내면 다음과 같이 표현할 수 있다. (1) 원 또는 (2) 포물선 (3) 타원 또는 (4) 쌍곡선 또는 또는 또는 [수학교과실/기하] - 쌍곡선의 매개변수와 여러가지 성질

2019. 4. 19. 19:48

수학교과실/기하

라미의 정리(Lami's theory )

■ 라미의 정리(Lami's theory)물체에 여러 가지 힘이 작용할 때에 그 합력이 0 이 되어 아무런 힘의 작용이 없는 것과 같이 된 상태를 힘의 평형이라고 한다. 이때 물체의 한 점에 세 힘이 동시에 작용하여 물체의 위치가 변화하지 않으면 이 세 힘은 평형이라고 한다. 한 평면에서 세 힘이 한 점에 동시에 작용할 때, 그 점의 위치가 움직이지 않으면 세 힘은 평행을 이룬다. 평행을 이루는 이 세 개의 힘을 평행이동하면 삼각형을 이루는데 이것을 라미의 정리하고 한다. 즉, 다음 그림과 같이 한 점에 작용하는 세 힘 이 평행을 이루고 세 힘 사이의 각의 크기를 각각 이라고 하자.세 벡터가 평행을 이루므로 이 세 벡터로 다음과 같은 삼각형 모양을 만들 수 있다.이 삼각형에서 사인법칙에 의하여………①이때..

2019. 4. 19. 19:19

수학교과실/기하

쌍곡선의 매개변수와 여러가지 성질

■ 쌍곡선의 방정식 표현 및 여러 가지 성질 1. 쌍곡선의 매개변수 표현두 초점 에서 거리의 차가 2a인 쌍곡선의 방정식은 (단, )이다. 이 쌍곡선의 방정식을 여러 가지 형태로 나타낼 수 있습니다. 다음과 같이 매개변수를 이용하여 쌍곡선을 표현해 볼 수 있다.⇒ ⇒ ⇒ 2. 쌍곡선의 자취의 일부두 원에 외접하는 원의 중심의 자취를 구하여 보자. 두 원 에 동시에 외접하는 원의 중심이 나타내는 도형의 방정식을 구해보자.두 원 의 반지름의 길이를 각각 이라하고, 두 원에 동시에 외접하는 원의 중심을 P, 반지름의 길이를 x라고 하자.이므로으로 일정한 값을 가진다.따라서 점 P의 집합이 나타내는 도형은 두 점 을 초점으로 하는 쌍곡선의 일부이다. 3. 쌍곡선의 여러 가지 성질쌍곡선 에는 다음과 같은 성질이 ..

2019. 4. 19. 18:38

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이차함수와 포물선

■ 이차함수의 그래프는 하나의 포물선 이차함수 의 그래프는 초점이 이고 준선이 인 포물선이다. 또한 일반적인 이차함수 에 대하여 변형해 보자완전제곱식으로 바꿔서 나타내 보면 다음과 같다.위 그래프는 이차함수 의 그래프를 x축의 방향으로 , y축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이므로 초점의 좌표가 , 준선이 인 포물선이다. 따라서 이차함수의 그래프는 포물선이다. [수학교과실/기하] - 포물선 만들기(활동)[수학교과실/기하] - 포물선에서 초점을 지나는 직선의 성질

2019. 4. 19. 18:28

수학교과실/기하

벡터를 이용한 삼수선 정리의 증명

■ 벡터를 이용한 삼수선 정리의 증명 벡터의 내적을 이용하여 직선과 평면의 수직에 대한 성질을 증명할 수 있다. 벡터의 내적을 이용하여 다음 삼수선의 정리를 증명하여 보자.그림과 같이 평면 밖의 한 점을 A, 점 A에서 평면 에 내린 수선의 발을 O, 점 A에서 평면 위의 한 직선 에 내린 수선의 발을 B라 하면 이다. ▶ 증명아래 그림과 같이 라고 하자.이고 이므로 ……… ①이때 이므로……… ②②를 ①에 대입하면를 얻는다. 이때따라서 즉, 이다. [수학교과실/기하] - 삼수선의 정리

2019. 4. 13. 22:03

수학교과실/기하

삼수선의 정리

공간도형에서 중요한 정리중에 하나입니다. 이를 이용하여 공간도형의 여러가지 문제를 해결하는데 중요하게 사용됩니다. 삼수선의 정리가 어떻게 수직이 되는지를 잘 이해하고 기억해 두세요. 그림과 같이 평면 위에 있지 않은 한 점 P와 평면 위의 직선 , 직선 위의 한 점 H, 평면 위에 있으면서 직선 위에 있지 않은 점 O에 대하여 다음의 성질이 성립한다. 이를 삼수선의 정리라고 한다.(1) 이면 (2) 이면 (3) 이면 ▶ 증명(1) 이고 직선 은 평면 위의 직선이므로 이다. 이므로 와 로 결정되는 평면을 라고 하면 직선 은 평면 와 수직이다. 즉, 이다. 그런데 는 평면 위에 있으므로 이다. (2) 이고 직선 은 평면 위의 직선이므로 이다.이므로 와 로 결정되는 평면을 라고 하면 직선 은 평면 와 수직이다..

2019. 4. 13. 21:49

수학전국연합/고3 모의고사

2019학년도 4월 고3 전국연합평가 수학가형, 나형 문제및 정답

이번 2019년도 4월 10일에 실시한 전국연합평가중 수학영역입니다. 2019학년도 4월 고3 전국연합평가 수학가형, 나형 문제및 정답을 올립니다. 확정등급 컷은 다음과 같습니다. 등급 수학가형 수학나형 원점수 표준점수 백분위 원점수 표준점수 백분위 1등급 89 130 96 88 134 96 2등급 84 126 90 80 128 88 3등급 74 117 77 69 120 78 4등급 63 108 60 51 106 60 5등급 47 95 39 28 89 40 6등급 32 82 23 16 80 22 7등급 19 71 11 12 77 11 8등급 13 66 4 10 75 4 ▶ 수학 가형, 나형 문제 및 정답 및 해설 자료 2018년 고3 4월 전국연합 수학가, 나형 문제 및 정답

2019. 4. 11. 10:05

수학교과실/기하

점과 직선사이의 거리 구하기(다양한 방법)

■ 점과 직선사이의 거리 구하기(다양한 방법)좌표평면 위의 직선 에 대하여 점 에서 직선 까지의 거리를 d라고 할 때, 임을 구해 보자.1. 벡터를 이용한 방법점 P에서 직선 에 내린 수선의 발을 라고 하자.점 H는 직선 위의 점이므로 ……①직선 의 법선벡터 는 와 평행하므로을 만족하는 실수 t가 존재한다. , 을 ①에 대입하면 2. 도형을 이용한 방법 인 경우 위 그림의 두 직각삼각형이 서로 닮은 삼각형임을 이용하면 빗변 AC가 직선 위에 있고 인 직각삼각형 ABC를 생각하자.직선 의 기울기가 이므로에서 피타고라스 정리에 의해또한, 점 에서 직선 에 내린 수선의 발을 H라 하고, 점 P의 x좌표가 같은 직선 위의 점을 Q라고 하면 삼각형 PHQ는 직각삼각형이고∠BCA = ∠HQP이므로△ABC ∽ △PH..

2019. 4. 10. 13:32

수학교과실/기하

벡터로 나타내는 원의 접선의 방정식

■ 벡터로 나타내는 원의 접선의 방정식 좌표평면 위의 점 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 r인 원 위의 한 점 에서의 접선의 방정식을 벡터로 나타내 보자.두 점 A, B의 위치벡터를 각각 라고 하자.원 위의 임의의 한 점 P의 위치벡터를 라고 하면 벡터로 나타낸 원의 방정식은 다음과 같다.이므로 이때 점 B는 원 위의 점이므로∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙①구하려는 접선 위의 임의의 한 점을 X(x,y)라고 하면이므로이다. 점 X의 위치벡터를 라고 하면이때 ①에 의해이와 같이 벡터를 이용하여 원의 접선의 방정식을 간단히 나타낼 수 있다. 이를 성분을 이용하여 정리하면 다음과 같다. [수학교과실/수학(상)] - 원에서 기울기가 m인 접선의 방정식

2019. 4. 10. 10:49

수학교과실/기하

벡터의 내적으로 구하는 삼각형의 넓이

■ 벡터의 내적으로 구하는 삼각형의 넓이 1. 벡터의 내적으로 표현하기 삼각형 ABC에서 , 라고 할 때, 삼각형 ABC의 넓이는 임을 알아보자. 영벡터가 아닌 두 벡터 , 가 이루는 각의 크기를 라고 할 때 즉 따라서 삼각형 ABC의 넓이를 S라고 하면 다음이 성립한다. S ……① 2. 벡터의 성분으로 표현하기 삼각형 ABC의 세 꼭짓점을 각각 , , 이라고 하자. 이때 , 이므로 ①에 대입하여 정리하면 을 얻을 수 있다. [수학Flash] - 삼각형의 넓이 [Joy Of Math/생각넓히기] - 헤론의 공식 증명

2019. 4. 9. 11:07

수학교과실/기하

벡터의 분해

■ 벡터의 분해 스키 점프는 급경사면을 갖춘 인공 구조물에서 스키를 타고 활강한 후에 도약대로부터 허공을 날아 착지하는 경기로, 좋은 기록을 내기 위해서는 공기의 저항과 중력을 고려해야 한다. 스키를 타고 급경사면을 내려올 때 스키 점프 선수에게 작용하는 힘의 방향과 크기를 어떻게 구할 수 있을까? 선수를 지면으로 끌어당기는 힘인 중력 는 선수가 도약대에서 내려오면서 가속할 때 급경사면과 수평 방향으로 작용하는 힘 과 선수가 급경사면을 수직 방향으로 누르는 힘 로 분해할 수 있다. 벡터를 분해할 때는 그 벡터가 두 벡터의 합이 되도록 평행사변형을 그리면 편리하다. 아래 그림에서 벡터 는 과 또는 과 의 두 벡터로 분해되었다. 좌표평면에서 벡터를 서로 수직인 두 벡터로 분해해 보자. 주어진 벡터 를 좌표평..

2019. 4. 8. 21:06

수학교과실/기하

평면벡터에서 점 P의 위치(내분점과 벡터의 합)

■ 평면벡터에서 점 P의 위치는? 평면 위의 세 점 O, A, B에 대하여 를 만족하는 점 P는 어떤 도형이나 영역을 나타내는지 알아보자. 1. , , 일 때 따라서 에서 위 그림과 같이 는 에서 까지 움직인다. 즉, 점 P는 선분 AB 위의 점을 나타낸다. 2. , 일 때 위 그림에서 를 만족하는 점 P는 두 선분 OA, OB를 이웃하는 두 변으로 하는 평행사변형의 경계와 내부를 나타낸다. 3. , , 일 때 위 그림에서 를 만족하는 점 P는 세 점 O, A, B를 꼭짓점으로 하는 삼각형 OAB의 경계와 내부를 나타낸다. (출처 : 동아출판사 기하와 벡터) 4. 이면 이므로 점 P는 점 B이다. 이면 이므로 점 P는 점 A이다. 5. 일 때점 P는 선분 AB를 로 외분하는 점이고 선분 AB의 연장선 중..

2019. 4. 8. 20:46

Joy Of Math/생각넓히기

나노와 테라

■ 나노와 테라의 시대 20세기가 마이크로의 시대였다면 21세기는 나노의 시대라고 한다. 을 나타내는 나노는 난쟁이를 뜻하는 그리스어 나노스(nanos)에서 유래하였다. 예를 들어 1나노미터(nm)는 m, 곧 10억 분의 1m이며, 머리카락 굵기의 수만 분의 1이다. 나노 기술(NT, Nano Technology)이란 나노미터 수준에서 물체들을 만들고 조작하는 미세한 기술로 생명 공학, 에너지, 반도체, 환경 등 다양한 분야에서 새로운 나노기술을 연구, 개발하고 있다.정보 통신 기술(IT, Information Technology)은 기가의 시대를 넘어 테라와 페타의 시대를 향하고 있다.차세대를 이끌어갈 기술은 기억 용량을 극대화하려는 정보 통신 기술과 미시 세계를 다루는 나노 기술이므로, 크기가 아주 ..

2019. 3. 25. 21:43

Joy Of Math/수학이야기

이차곡선의 활용

■ 이차곡선을 이용한 망원경과 안테나 ○ 망원경 먼 천체에서 오는 희미한 빛을 포착하기 위한 천체 망원경의 제작에 이차곡선을 이용한다. 1668년 뉴턴(Newton, I. ; 1642~1727)은 포물 반사경을 이용한 반사 망원경을 만들었고, 1672년에 프랑스의 카세그레인(Cassegrain, S.)이 포물선과 쌍곡선의 성질을 이용하여 개량된 망원경을 만들었다. [그림 1]과 같이 포물 반사경의 초점과 쌍곡 반사경의 한 초점을 일치시키고 쌍곡 반사경의 다른 초점과 타원 반사경의 한 초점을 일치하게 한 후, 타원 반사경의 다른 초점에 접안렌즈를 설치한다. 그러면 포물 반사경에 반사된 별빛은 포물 반사경의 초점인 향해 나아간다. 이 빛은 포물 반사경과 초점 을 공유하는 쌍곡 반사경에 반사되어 쌍곡 반사경의..

2019. 3. 23. 22:09

수학교과실/기하

쌍곡선의 활용(실생활 이용)

쌍곡선의 활용 쌍곡선을 이용해서 항해 중인 배의 위치를 알아내는 방법에 대하여 생각하여 보자. 멀리 떨어져 있는 두 기지에서 항해 중인 배로 동시에 전파를 보낸다. 배는 보통 어느 한 기지에 더 가까이 있기 마련이므로, 두 기지에서 보낸 신호를 약간의 시차를 두고 받게 된다. 두 기지 A와 B에서 발신한 신호가 배에 도달하는 데 걸리는 시간을 각각 라 하고, 배의 위치를 P라 하면 다음 식이 성립한다. (단, c는 전파의 속력) 따라서 배는 두 점 A, B를 초점으로 하는 쌍곡선 위의 어딘가에 있다. 배의 위치를 정확하게 알고 싶으면 서로 다른 세 지점으로부터 발신된 신호를 이용하면 된다. A기지와 또 다른 한 기지인 C에서 전파를 보내서 거리의 차를 구하면, 위와 마찬가지 방법으로 배가 위치하는 A와 ..

2019. 3. 23. 21:59