기하학

기하학

I. 기하학의 역사
기하(Geometry)라는 말은 그리스어 geometrein(geo:토지, metrein:측량)으로부터 유래되었다. 그리스의 역사학자 헤로도투스(Herodotus;B.C.5세기)는 기하학의 기원을 해마다 적어도 한 차례씩 있는 나일강의 대홍수 때문에 할 수 없이 토지의 측량을 하지 않을 수 없었던 이집트인의 업적으로 생각하였으나 다른 고대의 문명인 바빌로니아인, 인도인, 중국인 들도 기하에 대한 많은 지식을 가지고 있었던 것으로 확인 된다.
토지를 측량하는 것에서 출발한 기하학은 탈레스(Thales;640?~546 B. C.)로부터 합리적 추론에 의해 논리적인 체계를 갖추기 시작하여 피타고라스(Pythagoras;572?~492? B.C.)와 그의 제자들에게 계승되어 증명의 형식을 도입하였으며 유클리드(Euclid ;330?~275? B. C.)에 의하여 ‘원론’(Elements)이라는 이름으로 집대성 되었다.
아폴로니오스(Apollonios ; 262?~200? B. C.)의 원뿔곡선에 대한 연구 이후 답보상태로 머물던 기하학은 데카르트(Descartes, R. ;1596~1650)에 의하여 좌표계가 도입되어 해석적인 방법으로 문제를 풀게 되면서 해석기하학의 기틀이 마련되었고, 사영기하학, 미분기하학, 비유클리드 기하학, 위상기하학등 다양한 분야로 발전되었다.

II. 유클리드의 ‘원론’
우리가 지금 ‘원론’(Elements)이라고 부르는 이 말은 본래 그리스어로 stoicheia라하여 ‘입문’ 또는 ‘초보’의 뜻이었는데, 그 이후 로마 사람들이 Elementa라고 번역했고, 다시 영어로 Elements라고 고쳐 불렀다.

유클리드 원론은 모두 13권으로 되어 있는데 그 내용은 다음과 같다.

제1권에서 제 6권까지는 제5권을 제외하고 평면기하가 들어 있다.

제1권 : 필수적이고 예비적인 정의와 설명 및 공준과 공리로 시작한다. 비록 오늘날의 수학자들은 ‘공리’와 ‘공준’이라는 단어를 동의어로 사용하고 있지만 고대 그리이스 사람들의 일부는 그것을 달리 사용했었으며 유클리드가 채택한 그 두 단어의 차이점은 공리는 모든 학문 분야에 공통인 초기 가정인 반면에 공준은 연구하고자 하는 특별한 분야에 특유한 가정인 것으로 여겨진다. 제1권의 정리 중에는 합동, 평행선, 직선으로 이루어진 도형 등에 관한 친숙한 정리들이 포함되어 있다. 그 책의 마지막 두 정리인 정리 47과 48은 피타고라스 정리와 그 역이다.

제2권 : 겨우 14개의 정리만을 포함하고 있는 작은 책인데 여기에서는 주로 피타고라스 학파의 기하 대수학을 다루고 있다. 이 책의 정리 12와 13은 근본적으로 오늘날 코사인 법칙으로 알려진 피타고라스 정리의 일반화임을 지적했었다.

제3권 : 39개의 정리로 이루어졌으며, 원, 현, 할선, 접선, 연관된 각의 측정 등에 관한 정리들을 포함하고 있다.

제4권 : 16개의 정리로 이루어져 있으며 자와 컴퍼스를 이용한 작도, 주어진 원에 내접하는 경우와 외접하는 경우의 작도, 정다각형의 작도를 포함하고 있다.

제5권 : 에우독소스의 비율 이론에 대한 대가다운 설명에 충당했다. 이 책은 수학적인 문헌 중에서 가장 훌룡한 걸작 중의 하나로 간주된다.

제6권 : 에우독소스의 이론을 닮음 도형의 연구에 응용하고 있다.

제7권에서 10권까지는 102개의 정리를 포함하고 있는데 기초적인 수론을 다루고 있다.

제7권 : 두 개 이상의 정수에 대한 최대공약수를 구하는 방법(유클리드의 호제법)으로 시작된다. 또한 초기 피타고라스 학파의 비율 이론에 대한 설명을 발견할 수 있다.

제8권 : 주로 연비례와 그것과 관련된 등비수열을 다루고 있다. 만약 a : b = c: d가 성립하면 a, b, c, d는 등비수열을 형성한다.

제9권 : 수론에서 중요한 많은 정리들이 있는데 먼저 정리14는 중요한 ‘산술의 기본 정리(Fundamental theorem of arithmetic)’즉 “1보다 큰 임의의 정수는 반드시 소수들의 곱으로 표현될 수 있으며 근본적으로 단 한가지 방법으로 표현된다.”는 정리와 동치이다. 정리 20에서 ‘소수의 개수는 무한하다.’는 사실에 대한 매우 세련된 증명을 찾아볼 수 있다. 정리 35는 등비수열의 첫 n개의 항의 합에 대한 공식을 기하적으로 유도했다. 그리고 이 책의 마지막 정리인 정리 36은 짝수인 완전수를 만드는 놀라운 공식을 증명하고 있다.

제10권 : 무리수들, 즉 어떤 주어진 선분과 같은 단위로 잴 수 없는 선분을 다루고 있다.

제11권에서 제13권까지는 입체기하가 들어있다.

제11권 : 선과 면•면과 면•평행육면체•정육면체•각기둥

제12권 : 원의 면적•각뿔•각기둥•원뿔•원기둥•구의 체적(단, 원주율은 쓰지 않음. 원의 면적은 지름의 제곱에 비례하고 구의 체적은 지름의 세제곱에 비례함을 이용)

제13권 : 정다면체(정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체의 다섯 종류만이 정다면체임을 증명함.)

(1) 명제
1. 점은 부분이 없는 것이다.
2. 선은 폭이 없는 길이이다.
3. 선의 끝은 점이다.
4. 직선이란 그 위의 점이 한쪽 옆으로 간 선이다.
5. 면은 길이와 폭만 있는 것이다.
6. 면의 끝은 선이다.
7. 평면이란 그 위의 직선이 한쪽 옆으로 간 면이다.
8. 평면각이란 평면 위에 있으면서 서로 만나되 하나의 직선이 안되도록 위치한 두 선 사이의 기울기이다.
9. 한 직선이 다른 한 직선과 만나고 있을 때, 접각이 서로 같으면 그 각을 직각이라고 한다.
10. 원이란 평면 위의 한 점에서 그 위에 있으면서 선분의 길이가 언제나 같게 되는 하나의 선 에 의하여 둘러 쌓인 평면 도형이다.
11. 그 한 점을 원의 중심이라고 한다.
12. 삼변형 가운데 세 변이 같은 것을 등변삼각형, 두 변만이 같은 것을 이등변삼각형, 세 변이 모두 같지 않은 것을 부등변 삼각형이라고 한다.
13. 평행선이란 같은 평면 위에 있으면서 양쪽을 아무리 연장하여도 어느 방향에서도 만나지 않는 직선이다.

(2) 공리(기하학원본에는 “공준”이라고 했으나 오늘날은 “공리”로 굳어짐)
1. 임의의 점에서 임의의 점으로 직선을 긋는다.
2. 유한인 직선은 계속 이어 직선을 연장한다.
3. 임의의 중심과 거리를 가지고 원을 가지고 원을 그린다.
4. 모든 직각은 서로 같다.
5. 하나의 직선이 두 직선과 만날 때, 같은 안쪽에 만들어지는 두 각의 합이 2직각보다 작을 때, 이 두 직선을 한없이 연장하면 두 각의 합이 2직각보다 작은 쪽에서 만난다. (평행선의 공리)

공통 개념(이 부분을 아리스토텔레스는 “공리”라고 하였다.)
1. 동일(同 一)한 것과 같은 것은 서로 같다.
2. 같은 것에 같은 것을 더하면 그 전체는 또 같아진다.
3. 같은 것에서 같은 것을 빼면 나머지는 또 같아진다.
4. 겹쳐 놓을 수 있는 것은 서로 똑 같다.
5. 전체는 부분보다 크다.

III. 데카르트의 해석기하학
데카르트의 기하학이 유클리드의 기하학과 근본적으로 다른 것은 모든 양이 방향과 위치를 가지고 있다는 점이다. 여기서 좌표라는 새로운 개념이 나타난다. 공간에 좌표를 끌어들이고 그 결과 도형과 수식을 결합시켜 도형을 ‘수식의 계산’이라는 수단에 의해 연구할 수 있게 되면 대수학의 영역에 속하는 방정식도 도형으로 나타낼 수 있게 된다.
점이 움직인 자취가 직선이나 곡선이 되고, 또 직선이나 곡선이 움직이면 평면이나 곡면으로 되기 때문에 그 기본적 요소인 점의 위치를 수식으로 나타낼 수 있으면 선이나 면도 수식으로 나타낼 수 있고, 도형의 성질을 수식의 계산으로 연구할 수 있게 된다. 이것이 곧 방정식의 그래프이다.
데카르트가 창안한 새로운 기하학의 근본 개념을 요약하면 다음과 같다.
첫째, 공간에 적당히 원점을 정한다.
둘째, 단위 길이를 정한다.
셋째, 좌표라는 개념을 도입한다.
넷째, 도형을 수의 관계로 번역할 수 있다.
거꾸로 수의 관계를 기하학적 이미지로 파악할 수 도 있다는 것이다. 말하자면 좌표라는 수단을 써서 기하학과 대수학을 하나로 묶어서 다루는 방법을 생각해 냈다는 것이다.

IV. 비유클리드 기하학
유클리드 기하학은 학문으로서 거의 완벽한 체계를 지니고 있었지만 19세기에 접어들면서 많은 논리적인 결함들이 발견되었다. 특히, 제 5공준은 다른 공준에 비해 훨씬 복잡하여 나머지 공준을 이용하여 증명하려는 노력이 계속되었다. 제 5공준은 ‘한 직선 밖의 한 점을 지나고, 이 직선에 평행한 직선은 유일하게 존재한다’와 동치인데 이 공준을 증명하려는 노력은 모두 수포로 돌아갔다.
로바체프스키(Lobachevskii ; 1793~1856)와 볼리아이(Bolyai ; 1802~1860)는 제 5공준을 증명할 수 없게 되자 제 5공준을 ‘한 직선 밖의 한 점을 지나고, 이 직선에 평행한 직선은 적어도 두 개 존재한다’라고 바꾸어도 유클리드 기하학과 마찬가지로 내부적으로 아무런 모순이 없는 완전한 논리체계를 이루고 있음을 증명하였다. 이와 같이 유클리드의 제 5공준만을 바꾸어 놓은 기하학을 쌍곡기하학이라고 부른다.
리만(Riemann. G. F. B. ; 1826~1866)은 제 5공준을 ‘직선 밖의 한점을 지나고, 그 직선에 평행한 직선은 존재하지 않는다’로 바꾸어 새로운 기하학을 만들었는데 이를 타원 기하학이라고 부른다. 이 리만 기하학은 아인슈타인이 상대성 이론에서 중력 현상으로 생겨나는 ‘휘어진 공간’에 대하여 유클리드 기하학으로는 설명할 수 없는 많은 수학과 과학 이론들을 설명해 주는 중요한 도구가 되었다.

대한교과서 교사용 지도서에서....