수학교과실/수학II

방정식에의 활용

■ 방정식에의 활용 1. 방정식의 실근과 함수의 그래프의 관계 (1) 방정식 f(x)=0의 실근 및 실근의 개수 방정식 f(x)=0의 실근은 함수 y=f(x)의 그래프와 x축의 교점의 x좌표와 같다. 함수 y=f(x)의 그래프와 x축의 교점의 개수 ⇔ 방정식 f(x)=0의 서로 다른 실근의 개수 (2) 방정식 f(x)=g(x)의 실근 및 실근의 개수 방정식 f(x)=g(x)의 실근은 두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프의 교점의 x좌표와 같다. 두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프의 교점의 개수 ⇔ 방정식 f(x)=g(x)의 서로 다른 실근의 개수 2. 삼차방정식의 근의 판별 삼차함수 가 극값을 가질 때, 삼차방정식 의 근을 판별하는 방법은 다음과 같다. (1) 서로 다른 세 실근 ⇔ (극..

2021. 1. 24. 14:38

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함수의 최댓값과 최솟값

■ 함수의 최댓값과 최솟값 1. 함수의 최대, 최소 함수 f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이면 f(x)는 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 갖는다. (1) 이 구간에서의 함수 f(x)의 극값을 구함 (2) 양 끝 점의 함숫값 f(a), f(b)를 구함 (3) 이 중에서 가장 큰 값이 f(x)의 최댓값이고 가장 작은 값이 f(x)의 최솟값이다. 최댓값 ➡ 극댓값, f(a), f(b) 중 최대인 것 최솟값 ➡ 극솟값, f(a), f(b) 중 최소인 것 2. 함수의 최대, 최소 구하기 (1) 그래프를 그렸을 때 그래프의 가장 높은 점이 최대, 가장 낮은 점이 최소. (2) 그래프를 그리지 않고 최대, 최소를 구하려면 ➡ 인 점을 경계로 극값과 양 끝값을 비교한다. 함수의 극대와 극소(수학2)함수의 ..

2021. 1. 24. 10:19

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함수의 그래프

■ 함수의 그래프 1. 함수 y=f(x)의 그래프의 개형 (1) 도함수 를 구한 후 인 x의 값을 구한다. (2) 함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타낸다. (3) 함수 f(x)의 극값을 구한다. (4) 함수 y=f(x)의 그래프의 개형을 그린다. 2. 삼차함수의 그래프 삼차함수 의 그래프는 방정식 의 근에 따라 다음과 같이 세 종류로 그려진다. (1) 이 서로 다른 두 실근을 가질 때 (2) 이 중근을 가질 때 (모든 실수에서 증가함수) (3) 이 허근을 가질 때 (모든 실수에서 증가함수) (4) 삼차함수의 그래프와 극값 ➀ 삼차함수가 극값을 가질 조건 ➡ 이 서로 다른 두 실근 ➡ 판별식 D>0 ➁ 삼차함수가 극값을 갖지 않을 조건 ➡ 이 중근 또는 허근 ➡ 판별식 D≤0 3. 사차함수의 그래프 ..

2021. 1. 24. 09:58

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함수의 극대와 극소(수학2)

■ 함수의 극대와 극소 1. 함수의 극대와 극소함수 f(x)가 x=a를 포함하는 어떤 열린구간에 속하는 모든 x에 대하여 ⑴ f(a)> f(x)일 때, 함수 f(x)는 x=a에서 극대라 하며 이때의 함숫값 f(a)를 극댓값이라 한다. ⑵ f(a)< f(x)일 때, 함수 f(x)는 x=a에서 극소라 하며 이때의 함숫값 f(a)를 극솟값이라 한다. ⑶ 극댓값과 극솟값을 통틀어 극값이라 한다. 2. 극값과 미분계수 함수 f(x)가 x=a에서 극값을 갖고 a를 포함하는 어떤 열린구간에서 미분가능하면 ※ 이 성질의 역은 성립하지 않는다. 즉, 이라고 해서 반드시 x=a에서 극값을 갖는 것은 아니다. 예를 들어 일 때, 이므로 이다. 그러나 그림에서 보듯이 x=0에서 극대도 극소도 아니다. 3. 에 의한 극대, 극..

2021. 1. 24. 00:01

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함수의 증가와 감소

■ 함수의 증가와 감소 1. 함수의 증가와 감소함수 f(x)가 어떤 구간에 속하는 임의의 두 수 에 대하여(1) 일 때 이면 함수 f(x)는 이 구간에서 증가한다고 한다. (2) 일 때 이면 함수 f(x)는 이 구간에서 감소한다고 한다. 2. 함수의 증가와 감소의 판정 함수 f(x)가 어떤 구간에서 미분가능하고, 이 구간의 모든 x에 대하여(1) 이면 f(x)는 이 구간에서 증가한다.(2) 이면 f(x)는 이 구간에서 감소한다. ▷ 증명함수 f(x)가 구간 (a, b)에서 미분가능하고 이 구간의 모든 x에 대하여 이라고 하자.구간 (a, b)에 속하는 임의의 두 수 에 대하여 일 때, 닫힌구간 에서 평균값 정리에 의하여인 c가 과 사이에 적어도 하나 존재한다.이때 임의의 x에 대하여 이므로이고 이므로 이..

2021. 1. 23. 23:21

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평균값의 정리(롤의정리)

■ 평균값의 정리 1. 롤의 정리 함수 f(x)가(1) 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고(2) 열린구간 (a, b)에서 미분가능할 때,(3) f(a)=f(b)이면 인 c가 a와 b 사이에 적어도 하나 존재한다. ▷ 증명롤의 정리를 증명해 보자.➀ 함수 f(x) 가 상수함수일 때열린구간 (a, b)에 속하는 모든 c에 대하여 이다. ➁ 함수 f(x)가 상수함수가 아닐 때 함수 f(x)는 닫힌구간 [a, b]에서 연속이므로 최댓값과 최솟값을 갖는다. 그런데 f(a)=f(b)이므로 함수 f(x)는 x=c (a

2021. 1. 23. 22:27

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도함수

■ 도함수 1. 도함수 (1) 도함수 함수 y=f(x)가 정의역에 속하는 모든 x에서 미분가능할 때, 정의역의 각 원소 x에 미분계수 를 대응시키는 함수 를 도함수라 하고, 이것을 기호로 다음과 같이 나타낸다. (2) 미분법 함수 y=f(x)에서 그 도함수 를 구하는 것을 함수 y=f(x)를 x에 대하여 미분한다고 하고, 그 계산법을 미분법이라 한다. 2. 미분법의 기본공식 (1) 함수 (n은 양의 정수)과 상수함수의 도함수 ➀ (n은 양의 정수)이면 ➡ ➁ y=c (c는 상수)이면 ➡ (2) 함수의 실수배, 합, 차의 미분법 두 함수 f(x), g(x)가 미분가능할 때 ➀ (단, c는 상수) ➡ ➁ ➡ ③ ➡ (3) 함수의 곱의 미분법 두 함수 f(x), g(x)가 미분가능할 때, ➡ (4) 합성함수의..

2021. 1. 23. 21:40

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미분계수

■ 미분계수 1. 평균변화율 (1) 평균변화율 함수 y=f(x)에서 x의 값이 a에서 b까지 변할 때의 평균변화율은 (2) 평균변화율의 기하학적 의미 평균변화율은 두 점 A(a, f(a)), B(b, f(b))를 지나는 직선 AB의 기울기와 같다. 2. 미분계수 (1) 미분계수(순간변화율) 함수 y=f(x)의 x=a에서의 미분계수는 (2) 미분계수의 기하적 의미 함수 y=f(x)가 x=a에서 미분가능할 때, x=a에서의 미분계수 는 곡선 y=f(x) 위의 점 A(a, f(a))에서의 접선의 기울기와 같다. ※ 미분계수는 평균변화율의 극한값이다. 함수 y=f(x)가 x=a에서 미분계수를 구하는 방법은 라 놓으면 (1) 라 놓으면(2) 미분이란 무엇인가?미분법 마인드맵

2021. 1. 22. 20:56

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최대 최소의 정리 및 사이값 정리

■ 최대 최소의 정리 및 사이값 정리 1. 최대, 최소의 정리 함수 f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이면 f(x)는 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 갖는다. 2. 사이값 정리 함수 f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고, 이면 f(a)와 f(b) 사이의 임의의 값 k에 대하여 f(c)=k 를 만족시키는 c가 열린구간 (a, b)에 적어도 하나 존재한다. 3. 사잇값의 정리의 활용 함수 f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고, f(a)f(b)

2021. 1. 21. 22:05

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연속함수

■ 연속함수 한 점 x=a에서 연속인 것을 구간에서 연속인 것으로 확장한다. 1. 구간 (1) 두 실수 a, b(a

2021. 1. 21. 21:04

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함수의 연속

■ 함수의 연속 1. 함수의 연속과 불연속 (1) 함수 f(x)가 실수 a에 대하여 다음 세가지 조건을 모두 만족시킬 때, f(x)는 x=a에서 연속이라고 한다. (ⅰ) 의 값이 존재 (함수값이 존재) (ⅱ) 의 값이 존재 (극한값이 존재) ➡ 극한값이 존재 ⇔ 좌극한과 우극한값이 같다. ➡ (ⅲ) (함수값과 극한값이 같다.) (2) 함수 f(x)가 x=a에서 연속이 아닐 때(위 세가지 조건 중 한 가지라도 만족하지 않을 때), f(x)는 x=a에서 불연속이라고 한다. 2. 연속과 불연속을 판단하는 방법 (1) 그래프를 그려서 연속 불연속을 알아본다. (2) 연속 조건을 이용한다. f(x)가 x=a에서 연속 ⇔ (i) 의 값이 존재 (함수값이 존재) (ii) 의 값이 존재 (극한값이 존재) (iii) (..

2021. 1. 21. 16:22

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극한의 활용

■ 극한의 활용 1. 분수식의 극한에서 미정계수 정하는 방법 (1) 분수식의 극한에서 분모 또는 분자가 0으로 갈 때 ➀ 분모가 0으로 가면, 분자도 0으로 가야 수렴한다. 일 때, 이면 (단, 는 상수) ➁ 분자가 0으로 가면, 분모도 0으로 가야 0이 아닌 값에 수렴한다. 일 때, 이면 (단, 는 0이 아닌 상수) (2) 분자식의 극한에서 분모 또는 분자가 로 갈 때 ➡ 분자, 분모의 차수가 같을 때만 0이 아닌 값에 수렴한다. ▷ 증명 두 함수 f(x), g(x)에 대하여 ( 는 실수)이고 이면 함수의 극한에 대한 성질에 의하여 다음을 얻는다. 따라서 2. 함수의 극한의 대소 관계 세 함수 f(x), g(x), h(x)와 a에 가까운 모든 실수 x에 대하여 (1) 극한과 부등식 이고 극한값 , 이면..

2021. 1. 21. 14:27

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극한값의 계산

■ 극한값의 계산 1. 함수의 극한을 구하는 방법 함수의 극한을 구하는 방법의 기본은 대입 대입했을 때 0 또는 가 나오면 다음과 같이 생각하여 해결한다. (1) 꼴 : ➡ 분모의 절댓값이 한없이 커지면 0에 가까워지므로 극한은 0이다. (2) 꼴 : ➡ 분모의 부호에 따라 또는 이므로 좌극한, 우극한을 따로 알아본다. 이므로 는 극한값이 없다. (3) 꼴, 꼴, 꼴, 꼴 ➡ 경우에 따라 답이 다르게 나와 각 경우에 대한 해결하는 방법을 생각한다. 인수분해를 하거나 분모의 최고차항으로 나누거나 유리화 등등 다양한 방법을 사용하여 해결하면 된다. 다음은 이것에 대한 풀이 방법이다. 2. 꼴의 풀이법 (1) 분수식 ➡ 분자, 분모를 인수분해 한 후 약분한다. (2) 무리식 ➡ 근호가 있는 쪽을 유리화한 후 ..

2021. 1. 21. 13:54

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함수의 극한에 관한 성질

■ 함수의 극한에 관한 성질 1. 함수의 극한에 관한 성질(수렴하는 경우만 성립함) 두 함수 f(x), g(x)에서 극한값 , 가 존재(수렴)할 때 (1) (단, c는 상수) (2) (3) (4) (5) (단, ) ※ 위의 성질은 , , , 일때도 성립한다. 함수의 수렴과 발산좌극한과 우극한

2021. 1. 21. 13:15

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좌극한과 우극한

■ 좌극한과 우극한 1. 좌극한과 우극한 (1) 함수 f(x)에서 x의 값이 a보다 작으면서 a에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값이 일정한 값 L에 한없이 가까워지면 L을 함수 f(x)의 x=a에서의 좌극한이라 하고, 이것을 기호로 다음과 같이 나타낸다.또는 일 때 (2) 함수 f(x)에서 x의 값이 a보다 크면서 a에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값이 일정한 값 M에 한없이 가까워지면 M을 함수 f(x)의 x=a에서의 우극한이라 하고, 이것을 기호로 다음과 같이 나타낸다.또는 일 때 2. 함수의 극한값이 존재할 조건 x=a에서 함수 f(x)의 극한값이 존재하려면x=a에서 함수 f(x)의 좌극한과 우극한이 모두 존재하고 그 값은 서로 같아야 한다. ※ 함수 f(x)의 x=a에서의 우극한과 좌극한이..

2021. 1. 21. 12:44