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삼차방정식 한 허근의 성질

■ 삼차방정식 한 허근의 성질 삼차방정식 의 한 허근을 라 할 때 의 성질을 알아보자. 방정식 을 인수분해하면 이다. 이때, x=1인 실근 하나와 에서 두 허근은 을 갖는다. 이 허근중 하나를 라 하고 이를 이용하여 여러 가지 성질을 만들어진다. ( 는 의 켤레복소수이므로 이차방정식의 근이 된다.) 를 방정식에 대입하거나 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하면 성질을 알 수 있다. 1. 의 허근의 성질 (단, 는 의 켤레복소수) 삼차방정식 의 한 허근을 라 하면 ( 실제 의 한 근이 임) (1) ( , 는 삼차방정식 의 근) (2) ( 는 이차방정식 의 근) (3) ( 는 이차방정식 의 근) (4) ( 이차방정식 의 근과 계수의 관계) (5) ( 의 변형) (6) (n은 자연수) ( ) 2. 의 허근의..

2021. 1. 14. 11:13

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삼차방정식의 근과 계수와의 관계

■ 삼차방정식의 근과 계수와의 관계 1. 삼차방정식의 근과 계수와의 관계 삼차방정식 의 세 근을 라 하면 ▷ 증명 삼차방정식 의 세 근이 이면 를 인수로 가진다. 양변을 a로 나눈 다음 우변을 전개하면 양변의 계수를 비교하면 , , 2. 삼차방정식의 작성 (1) 세수 를 세 근으로 하는 의 계수가 1인 삼차방정식 (2) , , 를 만족하는 를 세 근으로 하는 삼차 방정식 3. 켤레근 (1) 계수가 유리수인 n 차 방정식 f(x)=0 의 한 근이 이면 도 f(x)=0 의 근이다. (단, a, b는 유리수, 은 무리수) (2) 계수가 실수인 n 차 방정식 f(x)=0의 한 근이 이면 도 f(x)=0 의 근이다. (단, a, b는 실수, ) 이차방정식의 판별식과 근과 계수의 관계삼차방정식의 근과 계수의 관계고..

2021. 1. 14. 10:33

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고차방정식의 해법(삼차, 사차방정식의 해법)

■ 고차방정식의 해법(삼차, 사차방정식의 해법) 방정식 f(x)=0에서 f(x)가 삼차식일 때 삼차방정식, 사차식일 때 사차방정식이라 하고, 삼차 이상의 방정식을 고차방정식이라 한다. 고차방정식의 해를 구할 때는 인수분해를 최대한 이용하여 해결하면 된다. 1. 인수분해를 이용하는 해법 (1) 인수분해공식을 이용 , 등을 이용 (2) 인수정리를 이용 이면 을 이용하고 조립제법으로 를 구해서 인수분해를 이용하여 구한다. 2. 치환을 이용하는 해법 (1) 로 치환하여 방정식 이차식으로 만든다. 예) (2) 의 꼴로 변형하여 푼다. 3. 상반방정식의 해법(대칭형 방정식) (1) 짝수차 상반방정식 : ( ) 양변을 으로 나눈 다음 로 치환하여 t 에 대한 이차방정식을 푼다. (2) 홀수차 상반방정식 : (x+1)..

2021. 1. 14. 10:00

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이차함수의 최대, 최소

■ 이차함수의 최대, 최소 1. 최대값, 최솟값 어떤 함수의 함숫값 중에서 가장 큰 값을 그 함수의 최댓값, 가장 작은 값을 그 함수의 최솟값이라고 한다. 2. 이차함수의 최댓값, 최솟값 이차함수 의 최댓값과 최솟값은 이차함수의 식을 의 꼴로 고쳐서 구할 수 있다. 일반적으로 이차함수 의 최댓값과 최솟값은 다음과 같다. ▶ 이차함수의 최댓값과 최솟값 이차함수 는 (1) a>0일 때, x=p에서 최솟값 q를 갖고, 최댓값은 없다. (2) a

2021. 1. 13. 16:15

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이차함수의 그래프와 직선의 위치관계

■ 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계 1. 이차함수의 그래프와 직선의 교점 이차함수 의 그래프와 직선 의 교점의 x좌표는 두 식을 연립한 이차방정식 의 실근과 같다. ▷설명 이차함수 의 그래프와 직선 의 교점의 x좌표는 연립방정식 을 만족시키는 순서쌍(x,y)에서 x값 이차방정식 의 실근 2. 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계 이차함수 의 그래프와 직선 의 위치관계는 이차방정식 , 즉 의 판별식 의 부호에 따라 결정된다. 따라서 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계는 판별식 D의 부호에 따라 다음과 같다. 이차방정식과 이차함수의 그래프의 관계이차함수의 그래프이차함수의 그래프와 직선의 위치관계

2021. 1. 13. 15:41

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이차방정식과 이차함수의 그래프의 관계

■ 이차방정식과 이차함수의 관계이차함수의 그래프와 x축의 교점(1) 이차함수 의 그래프와 x축의 교점의 x좌표는이차방정식 의 실근이다.(2) 이차함수 의 그래프와 x축의 교점의 개수는 이차방정식 의 실근의 개수이다. ▷ 설명x축의 방정식은 y=0이차함수 의 그래프와 x축의 교점의 x좌표는연립방정식 을 만족시키는 순서쌍 (x, y)에서 x값따라서 이차방정식 의 실근 2. 이차방정식과 이차함수의 관계이차방정식 의 실근의 개수는 판별식 의 부호에 따라 결정되므로 이차함수 의 그래프와 이차방정식의 해 사이에는 판별식 D의 부호에 따라 다음과 같은 관계가 성립한다. 이차함수의 그래프이차방정식과 이차함수의 관계이차함수의 그래프와 이차부등식의 해 종합정리이차함수의 그래프와 절대부등식

2021. 1. 13. 15:03

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이차함수의 그래프

■ 이차함수의 그래프 1. 이차함수 의 그래프 (1) 원점을 꼭짓점으로 하고, y축을 축으로 하는 포물선 (2) a>0일 때, 아래로 볼록 (∪자모양)한 포물선 a0 이면 ∪자모양 a0 이면 y절편이 양수 c

2021. 1. 13. 14:20

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이차방정식의 켤레근 증명

■ 이차방정식의 켤레근 이차방정식 (a, b는 실수)의 한 허근이 (p, q는 실수, )이면 그 켤레복소수 도 방정식의 근임을 확인해 보자. (1) 근을 직접 대입하기 이차방정식 에 를 대입하면 이때 a, b, p, q는 모두 실수이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 …… ① 2pq+aq=0 …… ② 이므로 ②에서 2p+a=0 즉 a=-2p …… ③ ③을 ①에 대입하여 정리하면 따라서 주어진 이차방정식은 이므로 에서 주어진 이차방정식의 두 근은 , 이다. (2) 근과 계수의 관계를 이용하기 이차방정식 의 한 허근을 , 다른 한 근을 라고 하면 근과 계수의 관계에 의하여 …… ① 이때 a, b, p, q는 모두 실수이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 -2pq-aq=0 이므로 -2p-a=0 즉 a=..

2021. 1. 13. 13:35

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이차방정식의 켤레근과 실근의 부호

■ 이차방정식의 켤레근과 실근의 부호 1. 이차방정식의 켤레근 (1) a, b, c,가 유리수인 이차방정식 에서 한 근이 이면 다른 한 근은 이다. (단, p, q는 유리수, 은 무리수) (2) a, b, c가 실수인 이차방정식 에서 한 근이 이면 다른 한 근은 이다. (단, p, q는 실수, ) ▷ 이차방정식의 켤레근 증명 2. 이차방정식의 실근의 부호 a, b, c가 실수인 이차방정식 의 두근을 라하고 를 판별식이라 할 때 (1) 두 근이 모두 양 (2) 두 근이 모두 음 (3) 두근의 부호가 다르다 (4) 두 근이 서로 다른 부호이고 양근의 절대값이 음근의 절대값보다 크다. (5) 두 근이 서로 다른 부호이고 음근의 절대값이 양근의 절대값보다 크다. 이차방정식의 판별식과 근과 계수의 관계이차방정식의..

2021. 1. 13. 12:49

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이차방정식의 판별식과 근과 계수의 관계

■이차방정식의 판별식과 근과 계수의 관계 x에 대한 이차방정식 의 근은 근의 공식에 의해 a, b, c가 실수일 때, 방정식의 근이 실근 또는 허근인지는 의 부호로 판단된다. 따라서 를 이차방정식의 판별식이라고 한다. ( 의 판별식 이다.) 1. 이차방정식의 판별식 (1) 판별식 a, b, c가 실수인 이차방정식 에서 라고 할 때 ➀ ⇔ 서로 다른 두 실근 ➁ ⇔ 중근(서로 같은 두 실근) ➂ ⇔ 서로 다른 두 허근(서로 켤레복소수 근) ※ ⇔ 실근 (2) 완전제곱식이 될 조건 이차식 가 완전제곱식이 될 조건 ⇨ 2. 이차방정식의 근과 계수의 관계 (1) 근과 계수의 관계 이차 방정식 의 두 근을 라 할 때 ① 두근의 합 : ② 두근의 곱 : (2) 이차방정식의 인수분해 이차 방정식 의 두 근을 라 하면..

2021. 1. 13. 12:22

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이차방정식의 해

■ 이차방정식의 해 ( , a, b, c는 상수)의 꼴로 표현할 수 있는 방정식을 이차방정식이라 한다. 이차방정식을 푸는 방법은 먼저 인수분해가 되는 지를 확인하고 인수분해가 되면 인수분해를 이용하여 근을 구하고 인수분해가 안되면 근의 공식을 이용하면 된다. 이차방정식 ( )의 해법 1. 인수분해에 의한 해법 으로 인수분해될 때 의 해는 또는 2. 완전제곱식에 의한 해법 (근의 공식을 유도시 사용) 로 변형이 될 때 의 해는 3. 근의 공식에 의한 해법 ① 의 해는 ⇦ 근의 공식 ② 의 해는 ⇦ 일차항의 계수가 짝수일 때(짝수 공식) ※ 중학교과정에서는 이차방정식의 근이 실수인 경우만 다루었으나, 고등학교과정에서는 특별한 조건이 없으면 이차방정식의 해는 복소수 범위까지 확장하여 생각한다. 근의 공식 을 ..

2021. 1. 13. 10:06

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일차방정식

■ 일차방정식 방정식 : 미지수 x의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식을 x에 대한 방정식이라고 하고, 방정식이 참이 되는 특정한 값을 해 또는 근이라고 한다.문자가 들어있는 일차방정식의 해는 다음과 같이 구한다. 1. 문자가 들어있는 일차방정식 ax=b의 해법ax=b의 꼴로 정리한 후 일 때와 a=0일 때로 나누어 생각한다.(1) 일 때, ⇨ 오직 하나의 해를 갖는다.(2) a=0일 때, 2. 절댓값 기호가 있는 일차방정식 해법(1) 절댓값의 성질을 이용하여 구간을 나누어 푼다.① 절댓값 기호가 있는 방정식을 풀려면 절댓값 기호 안을 0으로 하는 값을 기준으로 구간을 나누어 절댓값 기호를 없앤다.1) x≥0일 때, 2) x0)② 예제)1. 의 해풀이) ⇦ ax=b의 꼴 따라서일 때,..

2021. 1. 13. 09:19

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복소수

■ 복소수 1. 복소수 (1) 제곱하여 -1이 되는 수 를 허수단위라 하고, 실수 a, b에 대하여 꼴로 나타내어지는 수를 복소수라 한다. (단, ) (2) 에서 a를 실수부분, b를 허수부분이라 한다. (3) 실수가 아닌 복소수 를 허수라 하고, 실수부분이 0인 수, 즉 꼴의 허수를 순허수라 한다. 2. 복소수의 상등 a, b, c, d 가 실수일 때 (1) (2) 3. 켤레복소수 복소수 에 대하여 를 z의 켤레복소수라고 한다. 4. 켤레복소수의 성질 두 복소수 에 대하여 (1) (2) , (3) (4) (5) : 실수 ⇨ 복소수와 그 켤레복소수의 합과 곱은 항상 실수 (6) ⇔ 이 실수 (7) 이 순허수 ⇔ 4. 복소수의 사칙연산 (복수수의 연산도 실수와 마찬가지로 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 성..

2021. 1. 12. 22:29

Joy Of Math/생각넓히기

다항식의 약수와 배수

■ 다항식의 약수와 배수 1. 약수와 배수 세 다항식 A, B, Q에 대하여 일 때, A는 B의 배수, B는 A의 약수라고 한다. 2. 약수의 개수 합성수 N을 소인수 분해하여 으로 나타냈을 때, 양의 약수의 개수 3. 최대공약수와 최소공배수 다항식 A, B의 최대공약수를 G, 최소공배수를 L이라 할 때, (1) A=aG, B=bG (단, a, b는 서로소) (2) L=abG=Ab=aB (3) (4) A (또는 B)와 A+B, A-B의 최대공약수도 G이다. * 두 개의 다항식이 상수 이외의 공약수를 갖지 않을 때, 두 다항식을 서로소라고 한다. 다항식의 용어정리 다항식의 덧셈과 뺄셈 다항식의 곱셈과 나눗셈

2021. 1. 12. 17:10

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조립제법

■ 조립제법1. 조립제법 : 다항식 f(x)를 일차식 x-a로 나눈 몫과 나머지를 계수만을 이용하여 구하는 방법 2. 조립제법을 이용하는 방법다항식 f(x)를 일챃식 x-a로 나눌 때,(1) f(x)에서 차수가 높은 항부터 차례로 모든 항의 계수를 나열한다. (내림차순으로 정리할 경우 빠진 차수는 반드시 0을 사용해야 한다.)(2) 더해서 내리고, a를 곱해서 올리는 과정을 반복한다. 예를 들어 다항식 을 일차식 x-2로 나누면 다음과 같다.따라서 몫은 이고 나머지는 4이다. 이때 위의 나눗셈의 과정에서 몫의 각 항의 계수 3, 2, 6과 나머지 4를 계수만을 사용하여 아래와 같은 방법으로 구할 수 있다.몫 : , 나머지 : 4 이와 같이 다항식을 일차식으로 나눌 때, 계수만을 사용하여 몫과 나머지를 구..

2021. 1. 12. 15:31